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《大学生数学竞赛习题精讲》(第2版)

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图书介绍

本书是为大学生数学竞赛(非数学专业)编写的教学辅导教材,内容覆盖了大学高等数学(微积分)等课程。全书共有7章,共约1200多道题,其中收集了自2009年至2015年的全国预决赛(非数学)和北京市竞赛的全部试卷。全部习题都附有较详细的解答。题目难度有一定的差异,以适合不同层次和不同专业的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。书中经典的基本题约占二分之一,且涵盖的题目类型广泛,近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。对于经济和管理类的学生,除了“曲线与曲面积分”一节的内容之外,其他章节皆适用。此外,新版增加了相当数量的新题目,如“等周问题”、“圆周率是无理数”、“公路占地原理”、“最大熵原理”等,以适合高层次学生对数学知识的追求。新版中对每一节的习题都做了详细的分类,特色题大都给予命名并开列在目录中,以帮助读者归纳和查找,使该书的内容更加系统化。


文摘

本书第1版自2010年出版发行以来受到广大高校师生的关注和热评,收到了辅导教师和参赛学生的大量反馈信息,对本书提出了宝贵的建议,这些建议大多在新版中得到体现。新版在保持两部分(要点、例题、习题; 习题解答)的格局下,主要的变化体现在两个方面: 一是章节的变化,二是题目的变化。

根据辅导教师的建议,为了与课堂教学结合得更密切些,在新版中将原版共5章的内容改为7章,即将原来的“微分学”一章分为“一元函数微分学”和“多元函数微分学”两章,“积分学”一章分为“不定积分与定积分”和“多元函数积分学”两章。另外,安排了“4.1 函数与图形”,此节的主要内容是解析几何,如“默比乌斯带的参数方程”等。据此给出了更多微积分方法在几何学中应用的案例,例如“曲线簇的包络线”、“咕噜金定理”等。

在新版中,题目的选择仍然坚持以数学竞赛培训为主导的思想,因此保留了原版中的很多基本题,也删除了一些过于烦琐和枯燥的题目,同时增加了一些题目。新版中题目的数量由原版的700多道题增加到1200多道题。所选习题的难易程度差异较大,以适合不同层次的学生对数学竞赛或考研辅导的需求,其中经典的基本题约占二分之一,而难度较大的题都标以“*”号。在每一节中,对习题按照题目的类型或者题目的求解方法等以标题的形式做了详细的分类,以帮助读者归纳和查找,也使该书的内容更为系统化。在每节习题后给出非证明题目的答案。新版中还收集了自2009年至2015年全国预赛、决赛(非数学)和北京市竞赛的全部试卷,并在各类赛题后给出答案与提示,为读者提供了宝贵的参考资料。为适合“非数学专业”学生的特点,在习题解答部分,避免使用诸如“εδ ”、“一致连续”、“一致收敛”等“专业”化的数学方法,使得解题更具技巧性。新版中为一些题目配上了图形(全书共140多张图),以加强直观的几何感受,帮助读者理解。

本书涵盖的题目类型广泛,近年数学竞赛中的很多题目都可在本书中找到其踪影。为满足高层次学生对数学梦的追求,新版中增加了很多有特色的题目。这些题目本身或解题的技巧性都很有吸引力,如“公路占地原理”、“弯管的启示”、“旋转液面的形状”等题目。一些历史名题也被列入新版之中,如“等周问题”、“圆周率是无理数”等。它们经过作者的改写,使得“非数学专业”的学生也能够读懂,并给出了相应题目的历史概述。一些纯数学问题在本书中做了应用化处理,以强调数学建模的重要意义,如“一刀二饼问题”、“公路隔离栏原理”、“陈家全的百米世界纪录”等,这样的题目也可以作为数学建模的教学案例。

有特色的题大都被命名并按节开列在目录中,如“用施笃兹定理求极限”、“线性微分方程特解的算子解法”、“将地球变为黑洞”等,以提高读者对它们的关注度,并且便于读者查找。

教师在辅导的过程中,应注意多讲基本题。具有代表性的基本题大都被编排在例题之中。很多基本题尽管也有一定的难度,但教师讲授的重点则应放在解题的基本方法和思路上。例如“微分中值等式”问题,新版中给出了构造辅助函数的一般性方法,教师只需把这个方法讲明白,此类习题可由学生自己完成。

特别是积分应用中的各种微元法,其基本思想分别在各个积分章节的“内容要点”和题目的评注中都做了阐述,讲授时要做到融会贯通。从历年的竞赛试卷评阅来看,微积分的复杂演算是众多参赛学生的弱项,许多题目参赛者会做,但由于计算的基本功不过关而做错。教师应在竞赛的培训中注意对学生演算能力、耐心和技巧的培养。本书中提供了大量的演算技巧和简算方法,这也是在培训中需加以强调和同学在学习过程中需要注意之处。因为本书配有详细的习题解答,很适合学生自学之用。同时,为了避免读者急于对答案而翻阅解答部分,特将答案列于各节的习题之后。

对于经济和管理类的学生,不需讲解“5.2 曲线积分与曲面积分”的内容,其他内容皆适用。


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